和
分別發散至
可知 ， 函數的值域為R 。雖然這與現代對數函數的運算法則和性質相符 ， 但當時人們并沒有意識到這就是對數函數 ， 并且以e為底 。
接下來人們便開始考慮y=lnx的反函數的問題 。設y=lnx的反函數為x=f(y) ， 由反函數的求導法則可知 ，
如果用x來表示自變量 ， y來表示因變量 ， 那么自然對數的反函數y=f(x)滿足一個非常重要的性質：
即這個函數求導后仍得到它本身 ， 并且當x=0時 ， y=1 ， 我們把這個函數寫作
。
由反函數的性質可知y=exp(x)是定義在R上的單調遞增并且處處連續、可微的函數 ， 其值域為(0, ∞) 。由于exp(x)求導后得到它自身并且exp(0)=1 ， 我們便可不斷地重復該步驟 ， 通過冪級數的知識可知exp(x)能在R上展開成麥克勞林級數：
那為什么后來人們會發現
呢？這是因為當人們在求指數函數y=ax的導數時 ， 采用了這樣的方法：
根據復合函數的求導法則 ，
。當a=e時 ，
。利用
， 結合歸結原則有
， 于是：
所以：
由于
與
求導以后都得到
， 根據原函數的性質 ，
， C為積分常數 。將x=0代入等式兩端 ， 有1=1 C ， C=0 ， 即證明了
。
又利用 ， 得到了
令x=1 ， 則又得到了一個關于e的定義式：
當然 ， 根據
， 也可以將e定義為使
的x的取值 。

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