從歷史的開端，人類就一直在是解決各種問題 。從早期農業到太空探索，解決數學問題似乎是人類生存的一個關鍵因素 。
自上世紀70年代以來，一些曾經單調乏味的計算問題在一瞬間就可以解決，這主要是由于計算能力的指數級增長 。
然而，一些獨特的問題僅僅通過技術進步是無法解決的，即使對于最強大的計算機來說，解決這些問題所花費的時間比人的一生還要長 。
事實上，現代加密技術依賴于這樣一個事實：大質數不可能因式分解 。這些問題似乎都有一個共同的難題，也就是P（ polynomial time）對NP（ non-deterministic polynomial time）謎題的核心——什么是可化簡的，什么是不可化簡的？
1859年，愛爾蘭數學家威廉·漢密爾頓畫了一個叫做伊科希的數學游戲 。這個游戲是在一個由20個角（頂點）組成的木制十二面體表面上進行的 。每個角落都標上了一個城市的名字 。
游戲的目標是找到一個循環，即訪問每個頂點一次，然后返回起點 。這種路徑稱為哈密頓循環 。這個簡單的博弈產生了圖論中的一個重要問題，即哈密頓循環決策問題——給定一個任意地圖，我們如何知道它是否包含一個哈密頓循環？
- 二維平面圖形的十二面體 。一個可能的哈密頓循環用紅色表示 。
解決這個問題的一種方法是遍歷圖中任何可能的路徑，并檢查該路徑是否為哈密頓循環 。然而，由于可能路徑的數量可以達到n的階乘 。
這樣，即使一個只有40個頂點的圖也可能包含超過10^45條路徑，使得問題幾乎不可能在合理的時間內解決(即使對于最強大的處理器也是如此) 。
此外，由于頂點數量與路徑數量之間的階乘依賴關系，即使我們再增加一個頂點，也需要大幅提升計算機的計算能力 。我們可以說，階乘增長的根本性質使這個問題比其他問題更困難 。
這就是數學問題的艱巨性——如果一個問題需要的資源隨著投入的增加而急劇增加，那么這個問題就非常棘手 。
為了使這個想法形式化，計算機科學家使用了時間復雜度的尺度 。時間復雜度指的是解決一個問題需要多少步長，以及所需的步長如何隨問題的大小而變化 。給定一個算法，算法的時間復雜度被描述為一個漸近函數，它依賴于算法的輸入大小 。
漸進觀點是計算復雜性理論所固有的，它揭示了有限而精確的分析所掩蓋的結構——阿維·威格森
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