定期復(fù)利與連續(xù)復(fù)利 _復(fù)利

一、名義利率、實(shí)際利率、連續(xù)復(fù)利當(dāng)計(jì)息周期不是年，如何將其轉(zhuǎn)化為年利率？在普通復(fù)利計(jì)算以及技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析中，所給定或采用的利率一般都是年利率，即利率的時(shí)間單位是年，而且在不特別指明時(shí)，計(jì)算利息的計(jì)息周期也是以年為單位，即一年計(jì)息一次。在實(shí)際工作中，所給定的利率雖然還是年利率。由于計(jì)息周期可能是比年還短的時(shí)間單位，比如計(jì)息周期可以是半年、一個(gè)季度、一個(gè)月、一周或者為一天等等，因此一年內(nèi)的計(jì)息次數(shù)就相應(yīng)為2次、4次、12次、52次、或365次等等。這樣，一年內(nèi)計(jì)算利息的次數(shù)不止一次了，在復(fù)利條件下每計(jì)息一次，都要產(chǎn)生一部分新的利息，因而實(shí)際的利率也就不同了（因計(jì)息次數(shù)而變化）。假如按月計(jì)算利息，且其月利率為1%，通常稱為“年利率12%，每月計(jì)息一次” 。這個(gè)年利率12%稱為“名義利率” 。也就是說(shuō),名義利率等于每一計(jì)息周期的利率與每年的計(jì)息周期數(shù)的乘積。若按單利計(jì)算，名義利率與實(shí)際利率是一致的，但是，按復(fù)利計(jì)算，上述“年利率12%，每月計(jì)息一次”的實(shí)際年利率則不等于名義利率，應(yīng)比12%略大些。為12.68% 。例如，本金1000元，年利率為12％，若每年計(jì)息一次，一年后本利和為：F＝1000＊（1＋0.12／12）12＝1126.8（元）實(shí)際年利率i為：i=(1126.8-1000)/1000*100%=12.68% 這個(gè)12.68%就是實(shí)際利率。在上例中，若按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，實(shí)際利率為：i=e0.12-1=1.1257-1=12.75% 設(shè)名義利率為r，一年中計(jì)息次數(shù)為m，則一個(gè)計(jì)息周期的利率應(yīng)為r／m，求一年后本利和、年利率？分析：?jiǎn)卫椒ǎ阂荒旰蟊纠?F=P(1+i期×m) 利息 P×i期×m 年利率： P×i期×m / P = i期×m = r 復(fù)利方法：一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息 P(1+i期) m - P 年利率：i = [ P(1+i期) m —P]/ P = (1+i期) m -1 所以，名義利率與實(shí)際利率的換算公式為: i = (1+i期) m –1= (1+r/m) m –1 當(dāng)m＝l時(shí)，名義利率等于實(shí)際利率；當(dāng)m＞1時(shí)，實(shí)際利率大于名義利率。當(dāng)m → ∞時(shí)，即按連續(xù)復(fù)利計(jì)算時(shí)，i與r的關(guān)系為：名義利率：非有效利率，是指按單利方法計(jì)算的年利息與本金之比。實(shí)際利率：有效利率，是指按復(fù)利方法計(jì)算的年利息與本金之比。不同計(jì)息周期情況下的實(shí)際利率的計(jì)算比較計(jì)息周期一年內(nèi)計(jì)息周期數(shù)(m) 年名義利率(r)% 期利率(r/m)% 年實(shí)際利率(i)% 年 1 12.00 (已知) 12.00 12.000 半年 2 12.00 (已知) 6.00 12.360 季度 4 12.00 (已知) 3.00 12.551 月 12 12.00 (已知) 1.00 12.683 周 52 12.00 (已知) 0.2308 12.736 日 365 12.00 (已知) 0.03288 12.748 連續(xù)計(jì)息 ∞ 12.00 (已知) → 0 12.750從表中可知，復(fù)利計(jì)息周期越短，年名義利率與年實(shí)際利率差別越大，年實(shí)際利率越高。例3-7：某項(xiàng)工程四年建成，每年初向銀行貸款100萬(wàn)元，年名義利率8%，每月計(jì)息一次，工程建成后應(yīng)向銀行償還的本利和是多少。提示：(P) m =12 r =8% i =(1+r/m)m –1 =(1+8%/12)12 –1=8.3% F =A{[(1+i)n –1]/i}(1+i) =100×[(1.0834-1)/0.083]×1.083 =490.18(萬(wàn)元) 例3-8：某個(gè)項(xiàng)目需投資10萬(wàn)元，若每年能回收投資2.4萬(wàn)元，按折現(xiàn)率10%計(jì)算，大約多少年能全部收回投資? 提示：(P)?6?1 P =10，A =2.4，i =10% 且 P =A[(1+i)n-1]/[i(1+i)n] Pi(1+i)n =A(1+i)n-A(1+i)n (A-Pi)=A(1+i)n =A/(A-Pi) ∴n =[㏒A-㏒(A-Pi)]/㏒(1+i) =[㏒2.4-㏒(2.4-10×10%)]/㏒(1+10%) =5.7(年) ∴ 大約六年可以全部收回投資。
【定期復(fù)利與連續(xù)復(fù)利】

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定期復(fù)利與連續(xù)復(fù)利

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