向量減法有結(jié)合律嗎？ _結(jié)合律

【向量減法有結(jié)合律嗎？】

[編輯本段]向量的表示 1、代數(shù)表示：一般印刷用黑體小寫字母α、β、γ … 或a、b、c … 等來表示，手寫用在a、b、c…等字母上加一箭頭表示。2、幾何表示：向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。（若規(guī)定線段AB的端點(diǎn)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，則線段就具有了從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的方向和長度。這種具有方向和長度的線段叫做有向線段。） 3、坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底。a為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量OP=a 。由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y）。這就是向量a的坐標(biāo)表示。其中（x，y）就是點(diǎn)P的坐標(biāo) 。向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量。[編輯本段]向量的模和向量的數(shù)量向量的大小，也就是向量的長度(或稱模) 。向量a的模記作|a| 。注： 1、向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，是可以比較大小的。2、因?yàn)榉较虿荒鼙容^大小，所以向量也就不能比較大小。對(duì)于向量來說“大于”和“小于”的概念是沒有意義的。例如，“向量AB向量CD”是沒有意義的。[編輯本段]特殊的向量單位向量長度為單位1的向量，叫做單位向量．與向量a同向且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0，a0=a/|a| 。零向量長度為0的向量叫做零向量，記作0．零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)重合，所以零向量沒有確定的方向，或說零向量的方向是任意的。相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b．規(guī)定：所有的零向量都相等．當(dāng)用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以任意選取。任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)．同向且等長的有向線段都表示同一向量。自由向量始點(diǎn)不固定的向量，它可以任意的平行移動(dòng)，而且移動(dòng)后的向量仍然代表原來的向量。在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個(gè)向量。數(shù)學(xué)中只研究自由向量。滑動(dòng)向量沿著直線作用的向量稱為滑動(dòng)向量。固定向量作用于一點(diǎn)的向量稱為固定向量（亦稱膠著向量）。位置向量對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，我們把向量OP叫做點(diǎn)P的位置向量，記作：向量P 。[編輯本段]相反向量與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a 。有 -（-a）=a；零向量的相反向量仍是零向量。平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量．向量a、b平行（共線），記作a‖b．零向量長度為零，是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定：零向量與任一向量平行．平行于同一直線的一組向量是共線向量。共面向量平行于同一平面的三個(gè)（或多于三個(gè)）向量叫做共面向量。空間中的向量有且只有一下兩種位置關(guān)系：⑴共面；⑵不共面。只有三個(gè)或三個(gè)以上向量才談共面不共面。[編輯本段]向量的運(yùn)算設(shè)a=（x，y），b=(x'，y') 。1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC 。a+b=(x+x'，y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0 AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減” a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y'). 3、數(shù)乘向量實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣ 。當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同方向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反方向；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0 。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0 。實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當(dāng)∣λ∣＞1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；當(dāng)∣λ∣＜1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb) 。向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b 。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 。4、向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b 。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a·b 。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣ 。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y' 。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 a·b=b·a（交換律）； (λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì) a·a=|a|的平方。a⊥b 〈=〉a·b=0 。|a·b|≤|a|·|b| 。向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn) 1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2 。2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c 。3、|a·b|≠|(zhì)a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b 。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b 。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0 。向量的向量積性質(zhì)： ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。a×a=0 。a‖b〈=〉a×b=0 。向量的向量積運(yùn)算律 a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。6、三向量的混合積定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合積具有下列性質(zhì)： 1、三個(gè)不共面向量a、b、c的混合積的絕對(duì)值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=εV（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)ε=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)ε=-1） 2、上性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0 3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4、(a×b)·c=a·(b×c) 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào)； ② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào) 。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ 。① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào)； ② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào) 。定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ·向量PP2）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn) 。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ) 。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心 [編輯本段]向量共線的重要條件若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb 。a//b的重要條件是 xy'-x'y=0 。零向量0平行于任何向量。[編輯本段]向量垂直的充要條件 a⊥b的充要條件是 a·b=0 。a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0 。零向量0垂直于任何向量.

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