正態分布的曲線應用 _正態分布

綜述
⒈ 估計頻數分布一個服從正態分布的變量只要知道其均數與標準差就可根據公式即可估計任意取值范圍內頻數比例。
⒉ 制定參考值范圍
⑴正態分布法適用于服從正態（或近似正態）分布指標以及可以通過轉換后服從正態分布的指標。
⑵百分位數法常用于偏態分布的指標。表3-1中兩種方法的單雙側界值都應熟練掌握。
【正態分布的曲線應用】⒊ 質量控制：為了控制實驗中的測量（或實驗）誤差，常以作為上、下警戒值，以作為上、下控制值。這樣做的依據是：正常情況下測量（或實驗）誤差服從正態分布。
⒋ 正態分布是許多統計方法的理論基礎。檢驗、方差分析、相關和回歸分析等多種統計方法均要求分析的指標服從正態分布。許多統計方法雖然不要求分析指標服從正態分布，但相應的統計量在大樣本時近似正態分布，因而大樣本時這些統計推斷方法也是以正態分布為理論基礎的。例1.10 某地1993年抽樣調查了100名18歲男大學生身高（cm），其均數=172.70cm，標準差s=4.01cm，①估計該地18歲男大學生身高在168cm以下者占該地18歲男大學生總數的百分數；②分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范圍內18歲男大學生占該地18歲男大學生總數的實際百分數，并與理論百分數比較。
本例，μ、σ未知但樣本含量n較大，按式（3.1）用樣本均數X和標準差S分別代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17 。查附表標準正態曲線下的面積，在表的左側找到-1.1，表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10% 。該地18歲男大學生身高在168cm以下者，約占總數12.10% 。其它計算結果見表3 。
表3 100名18歲男大學生身高的實際分布與理論分布分布
x+-s 身高范圍（cm）實際分布
人數實際分布
百分數（%）理論分布（%） X+-1s 168.69～176.71 67 67.00 68.27 X +-1.96s 164.84～180.56 95 95.00 95.00 X+-2.58s 162.35～183.05 99 99.00 99.00 考試成績及學生綜合素質研究
教育統計學統計規律表明，學生的智力水平，包括學習能力，實際動手能力等呈正態分布。因而正常的考試成績分布應基本服從正態分布。考試分析要求繪制出學生成績分布的直方圖，以“中間高、兩頭低”來衡量成績符合正態分布的程度。其評價標準認為：考生成績分布情況直方圖，基本呈正態曲線狀，屬于好，如果略呈正（負）態狀，屬于中等，如果呈嚴重偏態或無規律，就是差的。
從概率統計規律看，“正常的考試成績分布應基本服從正態分布”是正確的。但是必須考慮人與物的本質不同，以及教育的有所作為可以使“隨機”受到干預，用曲線或直方圖的形狀來評價考試成績就有失偏頗。許多教育專家（如上海顧泠沅、美國布魯姆等）已經通過實踐論證，教育是可以大有作為的，可以做到大多數學生及格，而且多數學生可以得高分，考試成績曲線是偏正態分布的。但是長期受到“中間高、兩頭低”標準的影響，限制了教師的作為，抑制了多數學生能夠學好的信心。這是很大的誤會。通常正態曲線有一條對稱軸。當某個分數（或分數段）的考生人數最多時，對應曲線的最高點，是曲線的頂點。該分數值在橫軸上的對應點與頂點連接的線段就是該正態曲線的對稱軸。考生人數最多的值是峰值。我們注意到，成績曲線或直方圖實際上很少對稱的，稱之為峰線更合適。某些醫學現象，如同質群體的身高、紅細胞數、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機誤差，呈現為正態或近似正態分布；有些指標（變量）雖服從偏態分布，但經數據轉換后的新變量可服從正態或近似正態分布，可按正態分布規律處理。其中經對數轉換后服從正態分布的指標，被稱為服從對數正態分布。

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正態分布的曲線應用

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