微分方程通解,什么是微分方程的通解和特解？ _知識經(jīng)驗(yàn)

【微分方程通解,什么是微分方程的通解和特解？】y” py’ qy=0，等式右邊為零，為二階常系數(shù)齊次線性方程；y” py’ qy=f（x），等式右邊為一個函數(shù)式，為二階常系數(shù)非齊次線性方程。可見，后一個方程可以看為前一個方程添加了一個約束條件。對于第一個微分方程，目標(biāo)為求出y的表達(dá)式。求解過程在課本中分門別類寫得很清楚，由此得到的解，稱為【通解】，通解代表著這是解的集合。我們中學(xué)就知道，M個變量，需要M個個約束條件才能全部解出。例如，解三元一次方程組，需要三個方程。由此，在變量相同的條件下，多一個約束條件f（y），就可以多確定一個解，此解就稱為【特解】。你在做題時就會知道，想要結(jié)果越精確，約束條件就要越充分。在《信號與系統(tǒng)》或《通信原理》等課程中，你會對y”微分方程通解、y’有更直觀的認(rèn)識，多一次導(dǎo)，意味著多一次延時。

解：∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)3
==>(x-2)dy=[y 2*(x-2)3]dx
==>(x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx
==>[(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx
==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)2]
==>y/(x-2)=(x-2)2 C (C是積分常數(shù))
==>y=(x-2)3 C(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)3 C(x-2) (C是積分常數(shù)) 。
解答
xy’-ylny=0 → dy/dx=(ylny)/x → 分離變量得: dy/(ylny)=dx/x
→ d(lny)/lny=d(lnx) ※之所以得出這一步是因?yàn)?d(lny)=dy/y ※
→ 兩邊積分得: ∫d(lny)/lny = ∫d(lnx)
→ ln|lny|=ln|x| ln|C| ,C是任意不為0的常數(shù)(取成ln|C|純粹是為了最后表達(dá)方便)
→ 兩邊取指數(shù)得：lny=Cx
可以驗(yàn)證,當(dāng)C=0,即 y≡1 時,y=1也是微分方程xy’-ylny=0的一個解
綜上所述,微分方程的通解是：lny=Cx 也即 y=e^(Cx) ,C為任意常數(shù).
▲其實(shí)一階常微分方程的初等解法（包括分離變量法）是微分方程理論中最基礎(chǔ)也最簡單的內(nèi)容,必須牢牢掌握!如果感覺閱讀這一部分內(nèi)容有困難,請務(wù)必復(fù)習(xí)一下一元微積分的基礎(chǔ)知識!

青青草免费线看线看|啊在车上停不下来了|国产少女免费观看电视剧|仑乱88MAV|精品老司机在线观看视频|国产一区二区三区高清免费视频|在线观看免费777av

微分方程通解,什么是微分方程的通解和特解？

猜你喜歡