若給定兩個正整數m和n，試寫出求他們的最大公因子（既能夠同來自時整除m和n的最大整數）的算法——歐幾里德算

輾轉相除法
開放分類：數學、最大公約數
輾轉相除法,又名歐幾里德守孫是術茶苦算法（Euclideanalgorithm）乃求兩個正整數之最大公因子的算法 。它是已知最古狀找老的算法,其可追溯至前300年 。它首次出現于歐幾里德的《幾何原本》（第VII卷，命題i和ii）中，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》 。它并不需要把二數作質因子分解 。
證明：
設兩數為a、b(b＜a)，求建保絕余它們最大公約數(a、b)的步驟如下：用b除a，得a＝bq?1＋r?1（0≤r?1＜b） 。若r?1=0，則(a，b)＝b；若r?1360問答≠0，則再用r?1除b，得b＝遠所茶亮酸源身r?1q?2＋r?2（0≤r?2＜r?1） 。若r?2＝0，則(a，b)＝r?1，若r?2≠0，則繼續用細嚴r?2除r?1，眼備……如此下去，直到能整除為止 。其最后一個非零余數即為(a，b) 。
[編輯]算法
輾轉相除法是利用以下性質來確定注兩個正整數a和b的最大公因子的：
1.若r是a÷b的余數,則
gcd(a,b)=gc體致穩她心父移d(b,r)
2.a和其倍數之藝呀粉最大公因子為a 。
另一種寫法是：
1.a÷b，令械小兩討益想清什r為所得余數（0≤r＜b）
若r=0縣給半，算法結束；b即為答案 。
2.互換：置a←b，b←r，并返回第一步 。
[編輯]虛擬碼
這個算法可以用遞歸寫成如下:
functiongcd(a,b){
ifamodb<>0
ret巴完罪她給urngcd(b,amodb);
els千酒清蛋飯冷似般蛋誰e
【既能夠同來自時整除m和n的最大整數 若給定兩個正整數m和n，試寫出求他們的最大公因子的算法——歐幾里德算】returna;
}
或純使用循環:
functiongcd(a,b){
defineras擊故議日余征認百integer;
whileb≠0{
r:=amod學出滿英神被值b;
a:=b;
b:=r;
}
returna;
}
其中“amodb”是指取a÷b的余數 。
例如，123456和7890的最大公因子是6,這可由下列害半誰可向白步驟看出：
abamodb
12345678905106
789051062784
510627842322
27842322462
232246212
462126
1260
只要可計算余數都可用輾轉相除法來求最大公因子 。這包括多項式、復整數及所有歐幾里德定義域（Euclideandomain） 。
輾轉相除法的運算速度為O(n2)，其中n為輸入數值的位數 。

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